Пожалуйста, подскажите, как решать
2^(0.5x)= 3^(-0.5x)+5/3
пыталась
2^(0.5x)=\( \sqrt{2}^{x}\)}[/tex]
3^(-0.5x)= 1 \\(\sqrt{3}^{x}\) =\((\sqrt{3}/3)^{x}\)
Спасибо!
Помогите решить очень нужно
Re: Помогите решить очень нужно
Не совсем понятно, какой из двух вариантов имеется в виду: \( 2^{0,5x}=3^{-0,5x}+\frac{5}{3}\) или \(2^{0,5x}=3^{-0,5x+\frac{5}{3}}\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Помогите решить очень нужно
Да, первый вариант,
подбором х=2
и доказать, что других корней нет?
А можно ли как иначе?
подбором х=2
и доказать, что других корней нет?
А можно ли как иначе?
Re: Помогите решить очень нужно
Ну, доказать отсутствие иных корней можно. Рассмотрим функцию \( f(x)=2^{0,5x}-3^{-0,5x}-\frac{5}{3}\). Её область определения: \(D(f)=R\), т.е. она определена на всей числовой оси. Вы нашли один корень исходного уравнения, т.е. показали, что \(f(2)=0\).
Так как \(2^{0,5x}>0\) и \(3^{-0,5x}>0\) при всех \(x\in{R}\), а также истинны неравенства \(\ln{2}>0\) и \(\ln{3}>0\), то \(f'(x)>0\) при всех \(x\in{D(f)}\). Следовательно, функция \(f(x)\) возрастает на всей области определения.
Отсюда следует, что при всех \(x>2\) имеем \(f(x)>f(2)\), т.е. \(f(x)>0\). А при всех \(x<2\) имеем \(f(x)<f(2)\), т.е. \(f(x)<0\). Таким образом, есть только одна точка, в которой \(f(x)=0\) - это точка \(x=2\). Следовательно, исходное уравнение не имеет иных корней кроме \(x=2\).
\(f'(x)=2^{0,5x}\ln{2}\cdot{0{,}5}+3^{-0,5x}\ln{3}\cdot{0{,}5}=0{,}5\cdot\left(2^{0,5x}\ln{2}+3^{-0,5x}\ln{3}\right)\)
Так как \(2^{0,5x}>0\) и \(3^{-0,5x}>0\) при всех \(x\in{R}\), а также истинны неравенства \(\ln{2}>0\) и \(\ln{3}>0\), то \(f'(x)>0\) при всех \(x\in{D(f)}\). Следовательно, функция \(f(x)\) возрастает на всей области определения.
Отсюда следует, что при всех \(x>2\) имеем \(f(x)>f(2)\), т.е. \(f(x)>0\). А при всех \(x<2\) имеем \(f(x)<f(2)\), т.е. \(f(x)<0\). Таким образом, есть только одна точка, в которой \(f(x)=0\) - это точка \(x=2\). Следовательно, исходное уравнение не имеет иных корней кроме \(x=2\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Помогите решить очень нужно
А так чтобы без подбора есть способ найти корни?
Спасибо!
Спасибо!
Re: Помогите решить очень нужно
Может, графическим способом - преобразовать левую и правую части так, чтобы точка пересечения графиков была очевидна после элементарных преобразований. Другого варианта (кроме численных методов) пока что не наблюдаю.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"