\(\lim_{x\to \infty} \ln (1+e^x)-x\)
Какой прием использовать для решения? Можно просто разделить на x? Это обоснованно?
Предел
Re: Предел
Нельзя просто взять и разделить на \(x\). Придётся тут же на этот \(x\) домножить. Я бы начал с того, что сразу разделил два варианта: \(x\to -\infty\) и \(x\to +\infty\). Попробуйте пока поработать с \(x\to -\infty\) (тут не будет неопределёности), а я покамест прикину второй вариант.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Предел
Так, ну вроде с вторым вариантом всё более-менее ясно. Если учесть, что \(x=\ln e^x\), то:
\(\lim_{x\to +\infty} (\ln (1+e^x)-x)=\lim_{x\to +\infty} (\ln (1+e^x)-\ln e^x)=\lim_{x\to +\infty} \ln\frac{1+e^x}{e^x}=\lim_{x\to +\infty} \ln\left(\frac{1}{e^x}+1 \right)=\ln1=0.\)
\(\lim_{x\to +\infty} (\ln (1+e^x)-x)=\lim_{x\to +\infty} (\ln (1+e^x)-\ln e^x)=\lim_{x\to +\infty} \ln\frac{1+e^x}{e^x}=\lim_{x\to +\infty} \ln\left(\frac{1}{e^x}+1 \right)=\ln1=0.\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Предел
Бесконечность (не знаю насчет знака). Рассматриваем как сумму пределов, далее вносим под логарифм. Получается беск+ln(1+0)=беск
Re: Предел
Ну, если \(x\to -\infty\), то под логарифм вносить не нужно. Т.к. при \(x\to -\infty\) получим \(e^x\to 0\) и \(\ln(1+e^x)\to \ln1=0\). Откуда \(\lim_{x\to -\infty} (\ln (1+e^x)-x)=+\infty\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"