Исследовать последовательность на сходимость

[0201400]

Исследовать последовательность на сходимость
\(x_n = \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{3^2-2} + ... + \frac{1}{(n+1)^2-n}\)

[Алексей]

Так как \((n+1)^2-n=n^2+n+1>n^2+n\), то замена в знаменателях дробей выражения \((n+1)^2-n\) выражением \(n^2+n\) уменьшит эти знаменатели, тем самым увеличив дроби. Т.е.,

\(x_n = \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{3^2-2} + ... + \frac{1}{(n+1)^2-n}<\frac{1}{1^2+1} + \frac{1}{2^2+2} + ... + \frac{1}{n^2+n}=\\=\frac{1}{1\cdot(1+1)} + \frac{1}{2\cdot(2+1)} + ... + \frac{1}{n\cdot(n+1)}\)

Так как \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\), то:

\(\frac{1}{1\cdot(1+1)} + \frac{1}{2\cdot(2+1)} + ... + \frac{1}{n\cdot(n+1)}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\)

Итак, \(x_n<1-\frac{1}{n+1}\). Если учесть, что \(\frac{1}{n+1}>0\), то \(x_n<1-\frac{1}{n+1}<1\). Полученное неравенство \(x_n<1\) означает, что данная последовательность ограничена сверху.


Далее, так как \(x_{n+1}-x_n=\frac{1}{(n+2)^2-(n+1)^2}>0\), то \(x_{n+1}>x_n\). Полученное неравенство говорит о возрастании последовательности \(x_n\).


Так как последовательность \(x_n\) возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.