Исследовать на дифференцируемость функцию
\(f(x) = (x-2) arctg(\frac{1}{x-2}), f(2) = 0\)
Исследовать на дифференцируемость функцию (2)
Re: Исследовать на дифференцируемость функцию (2)
Насколько я понимаю, исследовать на дифференцируемость нужно именно в точке \(x=2\). Проверим, существует ли \(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\). В нашем случае \(x=2\), поэтому указанный выше предел станет таким: \(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}\). Так как \(f(2)=0\), то:
\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)}{\Delta x}\)
Так как \(f(x)=(x-2)\mathrm{arctg}\frac{1}{x-2}\), то: \(f(2+\Delta x)=\Delta x\;\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}\).
Итак:
\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x\;\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}\)
Теперь рассмотрим односторонние пределы, т.е. \(\lim_{\Delta x\to 0+0}\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}\) и \(\lim_{\Delta x\to 0-0}\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}\). Так как \(\lim_{\Delta x\to 0+0}\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}=\frac{\pi}{2}\) и \(\lim_{\Delta x\to 0-0}\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}=-\frac{\pi}{2}\), т.е. односторонние пределы не равны между собой, то предел \(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) не существует. Вывод: в точке \(x=2\) производная не существует.
\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)}{\Delta x}\)
Так как \(f(x)=(x-2)\mathrm{arctg}\frac{1}{x-2}\), то: \(f(2+\Delta x)=\Delta x\;\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}\).
Итак:
\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x\;\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}\)
Теперь рассмотрим односторонние пределы, т.е. \(\lim_{\Delta x\to 0+0}\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}\) и \(\lim_{\Delta x\to 0-0}\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}\). Так как \(\lim_{\Delta x\to 0+0}\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}=\frac{\pi}{2}\) и \(\lim_{\Delta x\to 0-0}\mathrm{arctg}\frac{1}{\Delta x}=-\frac{\pi}{2}\), т.е. односторонние пределы не равны между собой, то предел \(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) не существует. Вывод: в точке \(x=2\) производная не существует.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Исследовать на дифференцируемость функцию (2)
Странно, что меня смутила формулировка задания. Потому что аналогичное задание "исследовать на дифференцируемость в точке" я сделал. Спасибо 
Постараюсь сам сделать, потом сравню с приведенным выше решением.
Постараюсь сам сделать, потом сравню с приведенным выше решением.
Re: Исследовать на дифференцируемость функцию (2)
Попробуйте0201400 писал(а):Странно, что меня смутила формулировка задания. Потому что аналогичное задание "исследовать на дифференцируемость в точке" я сделал. Спасибо
Постараюсь сам сделать, потом сравню с приведенным выше решением.
Можете написать краткий ход решения, я проверю на корректность."Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Исследовать на дифференцируемость функцию (2)
\(f'(x_0)= \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x)-f(x_0)} {x-x_0}\), значит длолжно выполняться \(\lim_{x \rightarrow x_0+0} \frac {f(x)-f(x_0)} {x-x_0}=\lim_{x \rightarrow x_0-0} \frac {f(x)-f(x_0)} {x-x_0}\)
\(\lim_{x \rightarrow 2+0}\frac { f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{\frac{\pi (x-2)}{2}}{x-2}=\frac{\pi}{2}\)
\(\lim_{x \rightarrow 2-0}\frac { f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{\frac{-\pi (x-2)}{2}}{x-2}=-\frac{\pi}{2}\)
\(\lim_{x \rightarrow 2+0}\neq \lim_{x \rightarrow 2-0}\)
В точке 2 производная не существует
\(\lim_{x \rightarrow 2+0}\frac { f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{\frac{\pi (x-2)}{2}}{x-2}=\frac{\pi}{2}\)
\(\lim_{x \rightarrow 2-0}\frac { f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{\frac{-\pi (x-2)}{2}}{x-2}=-\frac{\pi}{2}\)
\(\lim_{x \rightarrow 2+0}\neq \lim_{x \rightarrow 2-0}\)
В точке 2 производная не существует
Последний раз редактировалось 0201400 12 фев 2014, 22:30, всего редактировалось 2 раза.
Re: Исследовать на дифференцируемость функцию (2)
Я бы не совсем согласился с записью, т.к знак предела исчезает только вместе с переменной. Ну, и скобки я бы сразу сократил
\(\lim_{x \to 2+0}\frac { f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x \to 2+0}\frac{(x-2)\mathrm{arctg}\frac{1}{x-2}}{x-2}=\lim_{x \to 2+0}\mathrm{arctg}\frac{1}{x-2}=\frac{\pi}{2}.\)
Если вы имели в виду именно такой процесс решения, то всё верно.
\(\lim_{x \to 2+0}\frac { f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x \to 2+0}\frac{(x-2)\mathrm{arctg}\frac{1}{x-2}}{x-2}=\lim_{x \to 2+0}\mathrm{arctg}\frac{1}{x-2}=\frac{\pi}{2}.\)
Если вы имели в виду именно такой процесс решения, то всё верно.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"