Проверить, можно ли доопределить эту функцию. Каким будет значение функции (если она будет непрерывной)
\(f(x) = \frac{\th(\sqrt{x}-1)}{x^2-1}, f(0) = a\)
Доопределение функции
Re: Вычислить предел
В условии явная ошибка, так как значение \(f(0)\) определено. Скорее всего, имеется в виду \(f(1)\).
Проверим, каков предел заданной функции при условии \(x\to 1\):
\(\lim_{x\to 1}\frac{\mathrm{th}(\sqrt{x}-1)}{x^2-1}=\lim_{x\to 1}\frac{\mathrm{th}(\sqrt{x}-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{\mathrm{th}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}\)
Так как при условии \(x\to 1\) имеем: \(\sqrt{x}-1\to 0\), то:
\(\lim_{x\to 1}\frac{\mathrm{th}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\)
Так как существует \(\lim_{x\to 1}\frac{\mathrm{th}(\sqrt{x}-1)}{x^2-1}\), то существуют односторонние пределы, причём их значения совпадают (они равны \(\frac{1}{4}\)). Вывод: \(x=1\) - точка "устранимого" разрыва. Для непрерывности функции нужно принять \(f(1)=\frac{1}{4}\).
Проверим, каков предел заданной функции при условии \(x\to 1\):
\(\lim_{x\to 1}\frac{\mathrm{th}(\sqrt{x}-1)}{x^2-1}=\lim_{x\to 1}\frac{\mathrm{th}(\sqrt{x}-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{\mathrm{th}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}\)
Так как при условии \(x\to 1\) имеем: \(\sqrt{x}-1\to 0\), то:
\(\lim_{x\to 1}\frac{\mathrm{th}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\)
Так как существует \(\lim_{x\to 1}\frac{\mathrm{th}(\sqrt{x}-1)}{x^2-1}\), то существуют односторонние пределы, причём их значения совпадают (они равны \(\frac{1}{4}\)). Вывод: \(x=1\) - точка "устранимого" разрыва. Для непрерывности функции нужно принять \(f(1)=\frac{1}{4}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"