Вычислить предел
\(\lim_{n\to\infty}\left(n^2\cdot (n^2 \;\sqrt[n]{e-1}-n)\right)\)
Вычислить предел
Re: Вычислить предел
Мне кажется, что условие в этом примере требуется уточнить так: \(\lim_{n\to\infty}\left(n^2\cdot (n \;\sqrt[2n]{e-1}-n)\right)\). Разложим его на два предела:
\(\lim_{n\to\infty}\left(n^2\cdot (n \;\sqrt[2n]{e-1}-n)\right)=\lim_{n\to\infty} n^2 \cdot \lim_{n\to\infty}\left(n \;\sqrt[2n]{e-1}-n\right)\)
Рассмотрим второй предел, т.е. \(\lim_{n\to\infty}\left(n \;\sqrt[2n]{e-1}-n\right)\)
Представим его в такой форме:
\(\lim_{n\to\infty}\left(n \;\sqrt[2n]{e-1}-n\right)=\lim_{n\to\infty}\left(n\cdot\left((e-1)^{\frac{1}{2n}}-1\right)\right)=\frac{1}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{(e-1)^{\frac{1}{2n}}-1}{\frac{1}{2n}}=\frac{1}{2}\cdot \ln(e-1).\)
Так как \(\lim_{n\to\infty} n^2=+\infty\), а \(\lim_{n\to\infty}\left(n \;\sqrt[2n]{e-1}-n\right)=\frac{1}{2}\cdot \ln(e-1)\), то:
\(\lim_{n\to\infty}\left(n^2\cdot (n \;\sqrt[2n]{e-1}-n)\right)=+\infty\)
\(\lim_{n\to\infty}\left(n^2\cdot (n \;\sqrt[2n]{e-1}-n)\right)=\lim_{n\to\infty} n^2 \cdot \lim_{n\to\infty}\left(n \;\sqrt[2n]{e-1}-n\right)\)
Рассмотрим второй предел, т.е. \(\lim_{n\to\infty}\left(n \;\sqrt[2n]{e-1}-n\right)\)
Представим его в такой форме:
\(\lim_{n\to\infty}\left(n \;\sqrt[2n]{e-1}-n\right)=\lim_{n\to\infty}\left(n\cdot\left((e-1)^{\frac{1}{2n}}-1\right)\right)=\frac{1}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{(e-1)^{\frac{1}{2n}}-1}{\frac{1}{2n}}=\frac{1}{2}\cdot \ln(e-1).\)
Так как \(\lim_{n\to\infty} n^2=+\infty\), а \(\lim_{n\to\infty}\left(n \;\sqrt[2n]{e-1}-n\right)=\frac{1}{2}\cdot \ln(e-1)\), то:
\(\lim_{n\to\infty}\left(n^2\cdot (n \;\sqrt[2n]{e-1}-n)\right)=+\infty\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"