Деление многочленов "столбиком" ("уголком").
Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида
$$P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n.$$Например, выражение $4x^{14}+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_{14}(x)=4x^{14}+87x^2+4x-11$.
Коэффициент $a_0$ называют старшим коэффициентом многочлена $P_n(x)$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старший коэффициент равен $4$ (число перед $x^{14}$). Число $a_n$ называют свободным членом многочлена $P_n(x)$. Например, для $4x^{14}+87x^2+4x-11$ свободный член равен $(-11)$. Теперь обратимся к теореме, на которой, собственно говоря, и будет основано изложение материала на данной странице.
Для любых двух многочленов $P_n(x)$ и $G_m(x)$ можно найти такие многочлены $Q_p(x)$ и $R_k(x)$, что будет выполнено равенство
$$ \begin{equation} P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end{equation} $$причём $k < m$.
Словосочетание "разделить многочлен $P_n(x)$ на многочлен $G_m(x)$" означает "представить многочлен $P_n(x)$ в форме (1)". Будем называть многочлен $P_n(x)$ – делимым, многочлен $G_m(x)$ – делителем, многочлен $Q_p(x)$ – частным от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$, а многочлен $R_k(x)$ – остачей от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$. Например, для многочленов $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ и $G_4(x)=3x^4+4x^2+2$ можно получить такое равенство:
$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$Здесь многочлен $P_6(x)$ является делимым, многочлен $G_4(x)$ – делителем, многочлен $Q_2(x)=4x^2+x$ – частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$, а многочлен $R_3(x)=2x^3+1$ – остатком от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Замечу, что степень остатка (т.е. 3) меньше степени делителя, (т.е. 4), посему условие равенства (1) соблюдено.
Если $R_k(x)\equiv 0$, то говорят, что многочлен $P_n(x)$ делится на многочлен $G_m(x)$ без остатка. Например, многочлен $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ делится на многочлен $3x^4+15$ без остатка, так как выполнено равенство:
$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$Здесь многочлен $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ является делимым; многочлен $G_4(x)=3x^4+15$ – делителем; а многочлен $Q_2(x)=7x^2+2x$ – частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Остаток равен нулю.
Чтобы разделить многочлен на многочлен часто применяют деление "столбиком" или, как его ещё называют, "уголком". Реализацию этого метода разберём на примерах.
Перед тем, как перейти к примерам, я введу ещё один термин. Он не является общепринятым, и использовать его мы будем исключительно для удобства изложения материала. До конца этой страницы будем называть старшим элементом многочлена $P_n(x)$ выражение $a_{0}x^{n}$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старшим элементом будет $4x^{14}$.
Пример №1
Разделить $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ на $5x^2-x+2$, используя деление "столбиком".
Решение
Итак, мы имеем два многочлена, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ и $G_2(x)=5x^2-x+2$. Степень первого равна $5$, а степень второго равна $2$. Многочлен $P_5(x)$ – делимое, а многочлен $G_2(x)$ – делитель. Наша задача состоит в нахождении частного и остатка. Поставленную задачу будем решать пошагово. Будем использовать ту же запись, что и для деления чисел:
Первый шаг
Разделим старший элемент многочлена $P_5(x)$ (т.е. $10x^5$) на старший элемент многочлена $Q_2(x)$ (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{10x^5}{5x^2}=2x^{5-2}=2x^3. $$Полученное выражение $2x^3$ – это первый элемент частного:
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $2x^3$, получив при этом:
$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $10x^5-2x^4+4x^3$:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 $$Этот многочлен допишем уже под чертой:
На этом первый шаг заканчивается. Тот результат, что мы получили, можно записать в развёрнутой форме:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 $$Так как степень многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (т.е. 4) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то процесс деления надобно продолжить. Перейдём ко второму шагу.
Второй шаг
Теперь уже будем работать с многочленами $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на первом шаге, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $5x^4$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{5x^4}{5x^2}=x^{4-2}=x^2. $$Полученное выражение $x^2$ – это второй элемент частного. Прибавим к частному $x^2$
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $x^2$, получив при этом:
$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $5x^4-x^3+2x^2$:
$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$Этот многочлен допишем уже под чертой:
На этом второй шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2-2x+5 $$Так как степень многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ (т.е. 3) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к третьему шагу.
Третий шаг
Теперь уже будем работать с многочленами $-15x^3+23x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $-15x^3$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{-15x^3}{5x^2}=-3x^{2-1}=-3x^1=-3x. $$Полученное выражение $(-3x)$ – это третий элемент частного. Допишем к частному $-3x$
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $(-3x)$, получив при этом:
$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ многочлен $-15x^3+3x^2-6x$:
$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$Этот многочлен допишем уже под чертой:
На этом третий шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x+5 $$Так как степень многочлена $20x^2+4x+5$ (т.е. 2) равна степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к четвёртому шагу.
Четвёртый шаг
Теперь уже будем работать с многочленами $20x^2+4x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $20x^2$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{20x^2}{5x^2}=4x^{2-2}=4x^0=4. $$Полученное число $4$ – это четвёртый элемент частного. Допишем к частному $4$
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $4$, получив при этом:
$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $20x^2+4x+5$ многочлен $20x^2-4x+8$:
$$ 20x^2+4x+5-(20x^2-4x+8)=8x-3 $$Этот многочлен допишем уже под чертой:
На этом четвёртый шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x+4)+8x-3 $$Так как степень многочлена $8x-3$ (т.е. 1) меньше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то процесс деления завершён. Частным от деления многочлена $P_6(x)$ на многочлен $G_2(x)$ есть многочлен $Q_3(x)=2x^3+x^2-3x+4$. Остаток от деления $P_6(x)$ на $G_2(x)$ – это многочлен $R_1(x)=8x-3$. По сути, мы представили исходный многочлен $P_6(x)$ в форме (1):
$$ P_6(x)=G_2(x)\cdot Q_3(x)+R_1(x) $$Ответ: частное от деления – многочлен $2x^3+x^2-3x+4$, остаток – многочлен $8x-3$.
Пример №2
Разделить $4x^3+2x-11$ на $x+5$, используя деление "столбиком".
Решение
Здесь можно использовать схему Горнера (и это было бы несколько менее громоздко). Однако для сугубо демонстрационных целей используем деление "столбиком". Подробные пояснения есть в примере №1, посему здесь укажем только ход решения.
Результат можно записать в такой форме:
$$ 4x^3+2x-11=(x+5)\cdot(4x^2-20x+102)-521 $$Следовательно, частным от деления $4x^3+2x-11$ на $x+5$ является многочлен $4x^2-20x+102$, а остаток есть число $(-521)$ (по сути, это многочлен нулевого порядка).
Ответ: частное – многочлен $4x^2-20x+102$, остаток – число $-521$.
Пример №3
Разделить $7x^3+9x^2-5x+9$ на $5x^7+10x^6-17x^2+14x-7$.
Решение
Степень делителя (т.е. многочлена $5x^7+10x^6-17x^2+14x-7$) равна $7$. Степень делимого (многочлена $7x^3+9x^2-5x+9$) равна 3. В этом ситуации, когда степень делителя больше степени делимого ($7 > 3$) разложение вида (1) возможно лишь в такой форме:
$$ 7x^3+9x^2-5x+9=0\cdot(5x^7+10x^6-17x^2+14x-7)+7x^3+9x^2-5x+9 $$Ответ: частное есть 0, остаток – многочлен $7x^3+9x^2-5x+9$.