Второй замечательный предел
Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:
$$ \begin{equation} \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e \end{equation} $$Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $e\approx{2{,}718281828459045}$. Если сделать замену $t=\frac{1}{x}$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:
$$ \begin{equation} \lim_{t\to{0}}\biggl(1+t\biggr)^{\frac{1}{t}}=e \end{equation} $$Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:
- Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
- Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $\frac{1}{t}$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.
Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^\infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.
Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.
Пример №1
Вычислить предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7}$.
Решение
Сразу отметим, что основание степени (т.е. $\frac{3x+1}{3x-5}$) стремится к единице:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{3x-5}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{3-\frac{5}{x}} =\frac{3+0}{3-0} =1. $$При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $\lim_{x\to\infty}(4x+7)=\infty$.
Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^\infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение $1+\frac{1}{x}$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $\frac{3x+1}{3x-5}$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $\frac{3x+1}{3x-5}$ под вид $1+\frac{1}{x}$. Для начала прибавим и вычтем единицу:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} $$Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что
$$ \frac{3x+1}{3x-5}-1 =\frac{3x+1}{3x-5}-\frac{3x-5}{3x-5} =\frac{3x+1-3x+5}{3x-5} =\frac{6}{3x-5}. $$Так как $\frac{3x+1}{3x-5}-1=\frac{6}{3x-5}$, то:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+ \frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right )^{4x+7} $$Продолжим «подгонку». В выражении $1+\frac{1}{x}$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+\frac{6}{3x-5}$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:
$$ 1+\frac{6}{3x-5} =1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} $$Таким образом,
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right )^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{4x+7} $$Итак, основание степени, т.е. $1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}$, подогнано под вид $1+\frac{1}{x}$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:
Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $\frac{3x-5}{6}$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $\frac{6}{3x-5}$. Итак, имеем:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} $$Отдельно рассмотрим предел дроби $\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}$, расположенной в степени:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot\left(4+\frac{7}{x}\right)}{3-\frac{5}{x}} =6\cdot\frac{4}{3} =8. $$Согласно формуле (1) имеем $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}}=e$. Кроме того, $\lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}=8$, поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} =e^8. $$Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7}=\left|1^\infty\right| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} =e^8. $$Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что $\frac{6}{3x-5}\to{0}$ при $x\to\infty$, то применяя формулу (2), получим:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7}=\left|1^\infty\right| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} =e^8. $$Ответ: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7}=e^8$.
Пример №2
Найти предел $\lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr)^{\frac{x}{3x-3}}$.
Решение
Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $x\to{1}$, т.е. $\lim_{x\to{1}}(7-6x)=7-6\cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $\frac{x}{3x-3}$, получаем: $\lim_{x\to{1}}\frac{x}{3x-3}=\infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.
Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $x\to{1}$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $x\to{1}$, то ${x-1}\to{0}$, т.е. $y\to{0}$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $y\to{0}$, получим:
$$ \lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr )^{\frac{x}{3x-3}} =\left|\begin{aligned}&y=x-1;\;x=y+1\\&y\to{0}\end{aligned}\right|=\\ =\lim_{y\to{0}}\biggl(7-6\cdot(y+1)\biggr)^{\frac{y+1}{3\cdot(y+1)-3}} =\lim_{y\to{0}}\biggl(1-6y\biggr)^\frac{y+1}{3y} =\lim_{y\to 0}\biggl(1+(-6y)\biggr)^\frac{y+1}{3y} $$Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $\frac{1}{t}$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $\frac{1}{-6y}$. Домножим показатель степени на выражение $\frac{1}{-6y}$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $\frac{-6y}{1}=-6y$:
$$ \lim_{y\to{0}}\biggl(1-6y\biggr)^\frac{y+1}{3y}=\lim_{y\to{0}}\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}\cdot(-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}} =\lim_{y\to{0}}\left(\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}}\right)^{-2(y+1)} $$Так как $\lim_{y\to{0}}\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}}=e$ и $\lim_{y\to{0}}(-2(y+1))=-2$, то получим:
$$ \lim_{y\to{0}}\left(\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}}\right)^{-2(y+1)} =e^{-2} =\frac{1}{e^2}. $$Полное решение без пояснений таково:
$$ \lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr)^{\frac{x}{3x-3}} =\left|\begin{aligned}&y=x-1;\;x=y+1\\&y\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{y\to{0}}\biggl(7-6\cdot(y+1)\biggr)^{\frac{y+1}{3\cdot(y+1)-3}}=\\ =\lim_{y\to{0}}\biggl(1-6y\biggr)^\frac{y+1}{3y} =\lim_{y\to{0}}\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}\cdot(-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}} =\lim_{y\to{0}}\left(\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}}\right)^{-2(y+1)} =e^{-2} =\frac{1}{e^2}. $$Ответ: $\lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr)^{\frac{x}{3x-3}}=\frac{1}{e^2}$.
Пример №3
Найти предел $\lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}}$.
Решение
Так как $\lim_{x\to{0}}(\cos{2x})=1$ и $\lim_{x\to{0}}\frac{1}{\sin^2{3x}}=\infty$ (напомню, что $\sin{u}\to{0}$ при $u\to{0}$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^\infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:
$$ \lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}} =|1^\infty| =\lim_{x\to{0}}\biggl(1+\cos{2x}-1\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}} $$Так как $\sin^2x=\frac{1-\cos{2x}}{2}$, то $\cos{2x}-1=-2\sin^2x$, поэтому:
$$ \lim_{x\to{0}}\biggl(1+\cos{2x}-1\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}} =\lim_{x\to{0}}\biggl(1+\left(-2\sin^2x\right)\biggr)^{\frac{1}{-2\sin^2x}\cdot(-2\sin^2x)\cdot\frac{1}{\sin^2 3x}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(\biggl(1+\left(-2\sin^2x\right)\biggr)^{\frac{1}{-2\sin^2x}}\right)^{\frac{-2\sin^2{x}}{\sin^2{3x}}} =e^{-\frac{2}{9}}. $$Здесь мы учли, что $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{x}}{\sin^2{3x}}=\frac{1}{9}$. Подробное описание того, как находить этот предел, дано в соответствующей теме.
Ответ: $\lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}}=e^{-\frac{2}{9}}$.
Пример №4
Найти предел $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)$.
Решение
Так как при $x>0$ имеем $\ln(x+1)-\ln{x}=\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$, то:
$$ \lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) $$Раскладывая дробь $\frac{x+1}{x}$ на сумму дробей $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ получим:
$$ \lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right) =\ln{e} =1. $$Ответ: $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)=1$.
Пример №5
Найти предел $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}$.
Решение
Так как $\lim_{x\to{2}}(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_{x\to{2}}\frac{2x}{x^2-4}=\infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=x-2;\;x=t+2\\&t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{2t+4}{t^2+4t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}\cdot 3t\cdot\frac{2t+4}{t^2+4t}} =\lim_{t\to{0}}\left(\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}}\right)^{\frac{6\cdot(t+2)}{t+4}} =e^3. $$Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=\frac{1}{x-2}$. Разумеется, ответ будет тем же:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=\frac{1}{x-2};\;x=\frac{2t+1}{t}\\&t\to\infty\end{aligned}\right| =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^{t\cdot\frac{4t+2}{4t+1}}=\\ =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}\cdot\frac{3}{t}\cdot\frac{t\cdot(4t+2)}{4t+1}} =\lim_{t\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{6\cdot(2t+1)}{4t+1}} =e^3. $$Ответ: $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}=e^3$.
Пример №6
Найти предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} $.
Решение
Выясним, к чему стремится выражение $\frac{2x^2+3}{2x^2-4}$ при условии $x\to\infty$:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{2x^2-4} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x^2}}{2-\frac{4}{x^2}} =\frac{2+0}{2-0}=1. $$Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{7}{2x^2-4}\right)^{3x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}\cdot\frac{7}{2x^2-4}\cdot 3x} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{21x}{2x^2-4}} =e^0 =1. $$Ответ: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x}=1$.